ضابطه تابع - 2

منظور از تعیین دامنه ی یک تایع پیدا کردن مقادیری است که x می تواند اختیار کند. برای این محدودیت هایی که شامل x می شود یا به عبارت دیگر مقادیری که x مجاز نیست آن ها را اختیار کند را شناسایی کرده و آن ها را از مجموعه اعداد حقیقی حذف می کنیم. این محدودیت ها بسته به نوع تابع متفاوت است. بدین منظور برای راحتی کار توابع را دسته بندی کرده و سپس مقادیر مجاز و غیر مجاز برای x را معرفی می کنیم.

الف ) توابع چند جمله ای:

این توابع که عموماً یک کثیر الجمله هستند، چون هیچ محدودیتی شامل x نمی شود، دارای دامنه ای برابر با اعداد حقیقی هستند.

ب ) توابع کسری:

این توابع از تقسیم دو چند جمله ای بر هم یا از تقیسم یک عدد بر یک چند جمله ای حاصل می شوند.

برای تعیین دامنه ی این توابع چون مخرج کسر باید مخالف صفر باشد، مقادیری از x که به ازای آنها مخرج کسر برابر صفر می شود را از اعداد حقیقی حذف می کنیم.

برای مثال در تابع مقادیر را نمی تواند اختیار کند، چون به ازای آن ها مخرج کسر صفر می شود، در نتیجه دامنه ی تابع برابر است با:

نکته:

هرگاه تابع کسری از تقسیم دو چند جمله ای بر هم حاصل شده بود، ابتدا باید تا حد امکان صورت و مخرج را با هم ساده کرد و سپس دامنه را تعیین کنیم.

برای مثال در تابع ابتدا به نظر می رسد که x مقادیر 2− و 1+ را نمی تواند اختیار کند، ولی پس از ساده کردن تابع به فرم درمی آید و داریم:

پ ) توابع شامل قدر مطلق و جزء صحیح:

برای تعیین دامنه ی این گونه توابع باید این نکته را بدانیم که قدر مطلق و جزء صحیح هیچ گونه محدودیتی برای x به وجود نمی آورند. یعنی دامنه ی توابع همان دامنه ی تابع (y = f(x است.

نکته:

هر گاه این گونه توابع با توابع دیگر ترکیب شدند باید بدانیم که دامنه ی تابع تغییر پیدا کرده است لذا برای تعیین دامنه از خواص این توایع و محدودیت تایع دیگری استفاده می کنیم.

به طور مثال برای تعیین دامنه ی تابع این گونه عمل می کنیم:

ت ) توابع رادیکالی:

تابع یک تابع رادیکالی است که در آن، u عبارت زیر رادیکال و فرجه ی رادیکال نام دارد. برای تعیین دامنه ی این توابع:

1 ) اگر عددی فرد بود: آن گاه دامنه ی تایع همان دامنه ی عبارت زیر رادیکال خواهد بود

2 ) اگر زوج بود: برای معنی دار بودن رادیکال باید عبارت زیر رادیکال بزرگ تر یا مساوی صفر باشد.

مثال:

ج ) توابع مثلثاتي:

در توابع مثلثاتي به فرم y = Sin u و y = Cos u که در آن u تابعی بر حسب x است دامنه ی تابع برابر است با دامنه ی تابع (u (x .

ولی در توابع مثلثاتي به فرم y = tan u و y = Cot u، ابتدا تابع را به فرم Sin و Cos تبدیل کرده و سپس مانند توابع کسری عمل می کنیم.

به طور مثال:

د ) توابع لگاریتمی:

این توابع به فرم هستند، که در آن (u(x و (v(x توابعی از x هستند.

در تعریف لگاریتم برای معنی دار بودن این عملگر 3 شرط مطرح می شود که عبارتند از:

ملاحظه می شود که این سه شرط به نوعی محدودیت هایی برای x هستند. در نتیجه برای تعیین دامنه ی این توابع این 3 شرط را اعمال می کنیم. به مثال زیر توجه کنید:

ﻫ ) توابع شامل آرک:

در توابع آرکی به فرم Arc Sin u و Arc Cos u که u تابعی از x است با توجه به این که همواره هستند، برای تعیین دامنه ی این توابع شرط زیرا اعمال می کنیم:

اما در توابع آرکی به فرم Arc tan u و Arc Cot u، با توجه به این که tan u و Cot u تمام مقادیر اعداد حقیقی را اختیار می کنن، در نتیجه فقط تابع (u(x می تواند محدودیتی برای x ایجاد کند، بنابراین دامنه ی این توابع برابر است با همان دامنه ی (u(x.

نکته:

در تمام توابعی که در بالا معرفی شد، هرگاه برای x چندین ناحیه مجاز به دست آمد، دامنه ی نهایی تابع برابر است با اشتراک آن چند محدوده.