اگر تابع f در بازهي I داده شده باشد و ميگوييم تابع f در داراي يک ماکسيمم نسبي است هرگاه براي هر داشته باشيم ، در اين صورت مقدار ماکسيمم نسبي تابع است. يعني در يک همسايگي از فقط از بقيهي (f(xها بيشتر است پس در بين آنها از همه بيشتر است و چون بررسي ما فقط در يک همسايگي از است نه در کل دامنهي تابع f پس به آن صفت نسبي ميدهيم.
هرگاه براي هر (I همسايگي است) داشته باشيم ، در اين صورت مقدار مينيمم نسبي تابع است. يعني در همسايگي از اين فقط است که از بقيهي (f(xها کمتر است.
نکته:
در تعريف ماکسيمم نسبي، بازهي باز I به اندازهي لازم کوچک گرفته ميشود.
ماکسيمم و مينيممهاي يک تابع اکسترممهاي آن تابع ناميده ميشوند. و به طوري که ديده شد، در اين نقاط مشتق تابع صفر ميشود (به شرط اين که تابع در اين نقاط مشتق پذير باشد) بنابراين، با توجه به آن چه گذشت، براي يافتن اکسترممهاي يک تابع مشتق پذير f مشتق آن را حساب کرده و برابر با صفر ميگذاريم. آن گاه ريشههاي معادلهي به دست آمده يعني را مييابيم. اين ريشه ها، به شرط آن که مشتق در آنها تغيير علامت دهد، نقاط اکسترمم تابع را معين ميکنند. اگر يکي از اين ريشهها و تغيير علامت مشتق در از مثبت به منفي باشد، تابع در داراي يک ماکسيمم و چنانچه تغيير علامت مشتق در از منفي به مثبت باشد، تابع در داراي يک مينيمم است. در هرحال مقدار اکسترمم تابع را معلوم ميکند.
پس با توجه به نکتهي ياد شده اگر تابع f مشتق پذير باشد براي يافتن طول اکسترممهاي آن ريشههاي مشتق تابع را مييابيم. پس جدول تعيين علامت را ميکشيم و هايي که مشتق در اطراف آن تغيير علامت دهد طول اکسترممها است.
توجه کنيد که آنچه گفته شد، آزمون مشتق اول نام دارد. يعني ريشه هايي از مشتق اول تابع که تابع مشتق مثلا در اطراف آن تغيير علامت دهد ميتوانند يک اکسترمم باشند حالا اگر آزمون مستق دوم را هم پياده کنيم ميتوانيم بفهميم که تابع f در اکسترمم به دست آمده ماکزيمم است يا مينيمم بدين صورت که اگر آن نقطه يا اکسترمم مفروض را نام گذاريم را پيدا کنيم چنانچه يعني طول مينيمم نسبي است اما اگر يعني طول ماکزيمم نسبي تابع f است.
آزمون مشتق دوم کمک ميکند که نوع اکسترممهاي تابع f را بدون کشيدن جدول تعيين علامت تشخيص دهيم.
نکتهاي را يادآوري ميکنيم که در يک جدول که ريشههاي مشتق را گذاشتهايم کل بازهي به چند بازه تقسيم کرده ايم اگر بخواهيم جدول را تعيين علامت کنيم براي گذاشتن علامت در هر بازه اول از آن بازهي مشخص يک عدد انتخاب ميکنيم و آن را در معادلهي مشتق جايگذاري ميکنيم که ببينيم مشتق آن عدد (+) است يا (- ) علامت مشتق هر چه شد آن علامت را در بازه مفروض ميگذاريم. مثلا به جدول زير نگاه کنيد کل بازهي به سه بازهي تقسيم شده پس براي علامت ابتدا سراغ بازهي ميرويم يک عدد از اين بازه انتخاب ميکنيم مثلا عدد 1- و آن را در معادلهي مشتق که در اينجا است جايگذاري ميکنيم:
چون علامت 3، مثبت است پس علامت + را در بازهي در رديف ميگذاريم و اگر عدد 1 را از بازهي انتخاب کنيم و را در آن بيابيم داريم:
چون 1- داراي علامت (- ) است پس در جدول در بازهي و در رديف علامت (- ) را ميکشيم. و به همين ترتيب براي بازهي بعدي که نيز عمل ميکنيم که در نهايت علامت آن (+) خواهد شد.