شرط لازم برای مشتق پذیری

قضیه : اگر تابع f در نقطه a مشتق پذیر باشد آنگاه در a پیوسته است , عکس این قضیه صادق نیست.

تذکر 1: پیوستگی تابع f در a شرط لازم برای مشتق پذیری است و نه کافی .

تذکر 2: برای بررسی مشتق پذیری توابع دو یا چند ضابطه ای , ابتدا مشتق پذیری تابع در هر یک از ضابطه های را بررسی کرده و سپس مشتق پذیری را در مرز ناحیه بررسی می کنیم.

تذکر 3: تابع f در نقطه a مشتق دارد هر گاه :

وجود داشته باشد پس اگر حداقل یکی از حالت های زیر بررسی تابع f اتفاق بیفتد , f در a مشتق ندارد :

1)f در یک همسایگی نقطه a تعریف نشده باشد .(مانند در نقطه ی 0)

2)f گرچه در همسایگی a تعریف شده ولی در آن نقطه پیوسته نباشد (مانند تابع [x] در نقطه ی 0)

3)اگر در رابطه ی بالا حدهای راست و چپ موجود ولی نابرابر باشند (مانند تابع [x] در نقطه ی 0)

4)اگر در رابطه بالا حداقل یکی از حدهای راست و چپ موجود نباشد (مانند در نقطه ی 0)