نقاط بحرانی تابع 1

1ـ نقاط بحراني: در تابعي با دامنه [a,b] نقاطي از بازه (a,b) که مشتق در آن نقاط صفر باشد و يا وجود نداشته باشد (تابع پيوسته نباشد، مشتق بينهايت باشد، مشتق چپ و راست برابر نباشد) را نقاط بحراني تابع f گويند.

2-اکسترمم نسبي: تابع f را در ماکزيمم نسبي گويند هرگاه اولاً ، ثانياً تابع در همسايگي موجود باشد و ثالثاً عرض آن از نقاط در همسايگي، بزرگتر يا مساوي باشد.

تابع f را در مينيمم نسبي گويند هرگاه اولاً ، ثانياً تابع در همسايگي موجود باشد و ثالثاً عرض آن از نقاط در همسايگي، کوچکتر يا مساوي باشد.

نکته 1: هر نقطه تابع ثابت مي‌تواند هم ماکزيمم و هم مينيمم نسبي باشد.

نکته 2: نقاط ابتدا و انتهاي بازه بسته اکسترمم نسبي هستند.

نکته 3: لزومي ندارد که نقاط اکسترمم نسبي خود پيوسته و يا مشتق‌پذير باشند.

3ـ اکسترمم مطلق: اگر تابع f با قلمرو [a,b] مفروض باشد، f در بازه [a,b] در ماکزيمم مطلق است. اگر عرض آن از تمام نقاط اين بازه بزرگتر باشد و مينيمم نسبي است هرگاه عرض آن از تمام نقاط بازه کمتر باشد.

نکته 1: يک تابع در يک بازه ممکن است داراي چندين اکسترمم نسبي باشد ولي ماکزيمم مطلق و مينيمم مطلق آن در صورت وجود منحصر به فرد است.

نکته 2: نقطه اکسترمم نسبي مي‌تواند نقطه اکسترمم مطلق نيز باشد.

نکته 3: اگر تابع f در نقطه داراي اکسترمم نسبي باشد و موجود باشد آنگاه است و اين بدين معناست که اگر تابع f در نقطه اکسترمم مشتق‌پذير بود حتماً خطوط مماس بر نقطه اکسترمم موازي محور xهاست.

نکته 4: نقاط اکسترمم هر تابع نقاط بحراني تابع نيز هستند.

نکته 5 نقاط ابتدا و انتهاي بازه [a,b] نقاط بحراني نيستند.

نکته 6: در توابع اکيداً صعودي يا اکيداً نزولي پيوسته، ماکزيمم و مينيمم مطلق در نقاط ابتدا و انتهاي بازه خواهد بود.

در مسايل براي تعيين اکسترمم‌هاي تابع ابتدا از تابع مشتق گرفته و نقاط بحراني را مي‌يابيم، سپس مقادير تابع را در نقاط بحراني و همچنين در نقاط ابتدا و انتهاي بازه بدست مي‌آوريم. هر کدام بيشترين مقدار را داشت ماکزيمم مطلق و هر کدام کمترين مقدار را داشت مينيمم مطلق خواهد بود.

با توجه به توضيحات بالا و شکل مقابل تابع در نقطه x=0 داراي ماکزيمم نسبي و در نقاط داراي مينيمم نسبي است.