هذلولي مکان هندسي نقاطي از صفحه است که قدر مطلق فواصل آنها از دو نقطه ثابت مقدار ثابتي است که اين مقدار ثابت بايد کوچکتر از فاصلهي بين دو نقطه ثابت باشد.
اگر مقدار ثابت برابر فاصلهي بين دو نقطه باشد يعني در اين صورت مکان هندسي به صورت دو نيم خط در ميآيد که در امتداد است.
اگر مقدار ثابت بيش از فاصله اين دو نقطه باشد در اين صورت هيچ شکلي حقيقي بوجود نمي آيد. در هر هذلولي دو نقطه ثابت را کانونهاي هذلولي و فاصله بين آنها را فاصلهي کانوني هذلولي مينامند و آنرا با c2 نمايش ميدهند امتداد خط
را محور کانوني (يا محور قاطع) هذلولي مينامند وسط را مرکز هذلولي مينامند و آنرا با o يا w نمايش ميدهند. محل تقاطع محور کانوني يا منحني را رئوس کانوني هذلولي مينامند و آنها را با نمايش ميدهند برابر همان مقدار ثابت در تعريف هذلولي است و با a2 نشان ميدهند خطي که در مرکز بر محور کانوني هذلولي عمود شده را محور ناکانوني (يا غير قاطع) هذلولي گويند. محورهاي کانوني و ناکانوني هذلولي، محورهاي تقارن هذلولي ميباشند و چون بر هم عمودند محل تقاطع آنها يا همان مرکز هذلولي مرکز تقارن هذلولي ميباشد.
مطابق شکل اگر M(x,y) نقطه اي از هذلولي و کانونهاي آن نقاط و مقدار ثابت a2 باشد معادله هذلولي به صورت
که ميباشد. مرکز هذلولي مبدأ مختصات است را قطر کانوني و را قطر غير کانوني هذلولي ميناميم که محورهاي تقارن هذلولي اند و محل برخورد آنها مرکز تقارن است.
اگر (M(x,y نقطه اي از شاخه راست هذلولي باشد داريم:
و اگرM نقطه اي از شاخه چپ هذلولي باشد داريم:
و همواره داريم
1) در هذلولي با توجه به رابطه داريم پس است. اما بر خلاف بيضي نيست و هر يک از حالتهاي در هذلولي ميتواند اتفاق بيفتد.
2) بر خلاف بيضي در هذلولي علامتهاي ضرائب
با هم مخالف است. در حالتي که عدد ثابت طرف راست تساوي يک راست (يا هر عدد مثبت ديگري است) اگر ضريب مثبت باشد و ضريب منفي باشد، هذلولي افقي است و در حالت برعکس هذلولي قائم است.
3) همواره در مخرج کسر قرار دارد که علامت آن مثبت است يعني در هذلولي افقي در زير و در هذلولي قائم در زير قرار دارد و بر عکس است.
4) در هذلولي افقي کانونها،رئوس کانوني و مرکز همه داراي عرض يکسان است و برعکس.
5) در هذلولي قائم کانونها،رئوس کانوني و مرکز داراي طول يکسان ميباشد و برعکس.
هر معادله به فرم با شرط مختلف العلامه بودن B,A يک هذلولي و يا دو خط راست ميباشد که به آن معادلهي ضمني يا باز هذلولي ميگويند. با روش مربع سازي ميتوان معادله را به فرم کانوني تبديل کرد.
تذکر: نيازي به حفظ کردن فرمول بالا نيست و به راحتي محاسبه ميشود.
اگر عدد سمت راست تساوي برابر صفر شود سمت چپ با استفاده از اتحاد مزدوج به دو پرانتز تبديل ميشود که هر کدام برابر صفر و معادلهي دو خط راست به دست ميآيد که اين دو خط با هم متقاطع اند اگر عدد سمت راست تساوي مخالف صفر شود با تقسيم طرفين تساوي بر اين عدد معادله استاندارد هذلولي بدست ميآيد که مرکز آن ميباشد.
البته براي بدست مرکز هذلولي ميتوانيم از مشتق رابطه نسبت به y,x استفاده کنيم يعني به ترتيب طول و عرض مرکز هذلولي را به ما ميدهد.
نکته:
اين که براي تشخيص هذلولي از دو خط متقاطع کافي است با استفاده از مشتق مرکز را بدست آوريم اگر مشخصات مرکز در معادله صدق کرد معادله دو خط متقاطع است و مرکز همان نقاط متقاطع دو خط متقاطع ميباشد و اگر صدق نکرد معادلهي هذلولي ميباشد.
6) اگر مرکز تقارن هذلولي به صورت باشد و هذلولي افقي باشد معادلهي آن مطابق شکل به صورت زير ميباشد:
حال اگر محور کانوني هذلولي موازي محور yها باشد هذلولي قائم ناميده ميشود اگر مرکز هذلولي باشد داريم:
براي تشخيص وضعيت نقطه M نسبت به هذلولي داريم:
البته از معادلهي ضمني هم ميتوان استفاده کرد که اگر ضابطهي هذلولي به صورت باشد و نقطهي مورد نظر باشد اگر:
تذکر:
چون در معادلهي ضمني هذلولي دو کدام عبارتهاي ميتوانند منفي باشد و در واقع، معادلهي ضمني را به دو شکل ميتوانيم بنويسيم که در منفي و مثبت شدن کاملاً دخالت دارد براي اينکه تشخيص دهيم که معادلهي ضمني را درست نوشتيم يا نه، مختصات مرکز را در معادلهي ضمني قرار ميدهيم اگر مقدار منفي بدست معادلهي ضمني درست است و اگر مثبت بايد تمام معادله را در يک منفي ضرب کرد.
تعريف: در هر هذلولي نسبت را خروج از مرکز هذلولي مينامند و آنرا با e نمايش ميدهند. خروج از مرکز هذلولي همواره بزرگتر از 1 است.
خروج از مرکز هذلولي را ميتوان از رابطه هم بدست آورد.
يادآوري: خط y=mx+n را مجانب ميل تابع (y=f(x ميگويند هرگاه داشته باشيم:
در هذلوليهاي افقي قائم همواره دو مجانب مايل وجود دارد که معادلهي آنها به صورت زير است:
شيب خطوط مجانب در هذلولي قائم و در هذلولي افقي ميباشد.
زاويهي بين دو خط با شيبهاي از رابطهي زير بدست ميآيد:
مطابق شکل مستطيلي که قطرهاي آن مجانبهاي هذلولي ميباشد مستطيل مجانبهاي هذلولي نام دارد و اوساط اضلاع آن رئوس هذلولي ميباشد اگر زاويهي بين دو مجانب باشد داريم:
اين فرمولها مطابق شکل به همين شکل در هذلولي قائم وجود دارد.
هرگاه در يک هذلولي a=b باشد آنرا هذلولي تساوي القطرين يا متساويالساقين ميگويند در هر هذلولي تساوي القطرين داريم:
1- خروج از مرکز برابر ميباشد
2- خطوط مجانب بر هم عمودند و معادلات آنها به صورت ميباشد.
3- در معادلهي ضمني قدر مطلق ضرائب با هم برابرند. در واقع هر معادله به فرم
به شرطي که دو خط نباشد معادلهي يک هذلولي تساوي الساقين است.
4- در حالت افقي معادلهي استاندارد به صورت و در حالت قائم به صورت ميباشد.
در هر هذلولي قائم يا افقي فاصلهي هر کانون از هر خط مجانب آن برابر مقدار ثابت b ميباشد.
اين مطلب را در مورد هذلولي ثابت ميکنيم مطابق شکل داريم:
کانون هذلولي (0وF(c و خط مجانب آن ميباشد پس داريم:
در هر هذلولي افقي يا قائم فاصلهي هر رأس کانوني از هر مجانب هذلولي برابر مقدار ثابت ميباشد.