شکل های فضایی

احجام فضايي:

مکعب: يک 6 وجهي مي باشد که تمام وجوه آن مربع هستند اگر تمام وجوه آن مستطيل باشد به آن مکعب مستطيل مي گويند.

قطر مکعب مستطيل عبارتست از پاره خطي که از يک رأس خارج شده و به رأس ديگر مکعب که در وجه ديگر است، وارد مي شود. و اگر اضلاع مکعب به ترتيب c,b,a باشند طول قطر عبارتست از:

مکعب مستطيل 2 قطر دارد که بر داخل مکعب همرسند و همديگر را نصف مي کنند.

نکته:‌ به مجموع مساحت هاي تمام وجوه يک چند وجهي مساحت کل گويند. ولي اگر فقط مساحت هاي وجوه جانبي را جمع کنيم به آن مساحت جانبي گويند.

نکته:‌ حجم مکعب ها از ضرب کردن مساحت وجه قاعده در ارتفاع وارد بر آن حاصل مي شود.

منشور: يک چند وجهي است که دو وجه هم نهشت و موازي دارد و ساير وجهاي بين اين دو وجه متوازي الاضلاع هستند. دو وجه موازي را قاعده و وجوه ديگر را وجوه جانبي مي نامند به همين ترتيب اضلاع اين وجوه را هم يال جانبي مي نامند.

کوتاه ترين پاره خطي که صفحات دو قاعده را به هم وصل مي کند را ارتفاع منشور گويند.

نکته: مساحت جانبي يک منشور عبارتست از محيط يک قاعده ضرب در ارتفاع.

استوانه: استوانه منشوري است که قاعده هاي همنهشت آن دايره هستند. خطي که مرکز دو دايره را به هم وصل مي کند را محور استوانه گويند.

در استوانه ي قائم محور همان ارتفاع است. و مساحت جانبي همانند منشور محاسبه مي شود حجم استوانه هم مانند منشور مساوي است با مساحت قاعده در ارتفاع.

هرم: هرگاه در منشور يکي از قاعده ها را برداشته و وجوه را در يک رأس به هم وصل کنيم هرم حاصل مي شود. کوتاه ترين پاره خط که رأس را به قاعده وصل مي کند را ارتفاع هرم گويند.

ارتفاع هر وجه جانبي هرم را سهم هرم مي نامند.

مساحت جانبي هرم عبارتست از نصف محيط قاعده ضرب در سهم هرم.

مخروط: هرمي است که قاعده آن به جاي چند ضلعي دايره باشد و خطي که رأس مخروط را به مرکز دايره وصل کند محور ناميده مي شود. همچنين پاره خطي که رأس هرم را به محيط دايره وصل مي کند مولد مخروط ناميده مي شود.

حجم مخروط هم مانند هرم عبارتست از يک سوم مساحت قاعده ضرب در ارتفاع.

مساحت جانبي مخروط برابر است با نصف محيط دايره قاعده ضرب در مولد مخروط.

کره: مجموعه نقاطي از فضا مي باشد که از يک نقطه به نام مرکز به يک فاصله قرار دارند. که اين فاصله شعاع کره نام دارد.

نکته: مساحت کره و حجم آن برابر است با:

احجام ناقص:

نکته: در احجام ياد شده اگر صفحه اي موازي با قاعده (به جز دايره) آن حجم را قطع کند يک حجم ناقص و يک حجم جديد پديد مي آيد اين حجم جديد با حجم قبلي متشابه است و داراي يک نسبت تشابه است. نسبت مشاحت حجم جديد به حجم اوليه برابر توان دوم نسبت تشابه و نسبت حجم اين دو برابر است با توان سوم نسبت تشابه.

نکته: نسبت حجم ناقص را از تفاضل حجم ثانويه از حجم اوليه به دست مي آوريم.

حجم هاي محاط و محيط بر يک ديگر:

* استوانه محاط در مکعب مستطيل با قاعده مربع:

ارتفاع استوانه برابر با ارتفاع مکعب مستطيل و شعاع قاعده استوانه برابر با نصف طول ضلع قاعده است.

* مکعب محاط درون استوانه:

R= قاعده و h = ارتفاع استوانه و a= ضلع مکعب

* هرم محاط درون مکعب:

حجم اوليه برابر با حجم مکعب است.

* کره محاط در استوانه:

h=2R

(شعاع کره) R=R (شعاع قاعده استوانه)

*کره محاط در مکعب:

a=2R

*مکعب محاط در کره:

(قطر کره) 2R= (قطر مکعب به يال a)

*مخروط محاط در مکعب:

نکته: اگر مخروطي به شعاع قاعده R و ارتفاع h درون مکعب مربعي به طول يال a محاط شود آن گاه a=2R=h

تست: حجم يک مکعب محيط بر يک کره چند برابر حجم مکعبي محاط در همان کره مي باشد؟ (سراسري 82)

1-

2-

3-

4-

نکته: از دوران مستطيل حول اضلاعش استوانه اي پديد مي آيد که شعاع قاعده آن يک ضلع و ارتفاع آن ضلع ديگر مستطيل است.

نکته: از دوران مستطيل حول يک پاره خط استوانه اي تو خالي حاصل مي شود.

نکته: از دوران مثلث قائم الزاويه حول اضلاع قائمش، مخروط حاصل مي شود.شعاع قاعده a و ارتفاع مخروط b مي باشد.

نکته: از دوران مثلث قائم الزاويه حول وترش دو مخروط حاصل مي شود که از قاعده به يک ديگر متصل مي باشند. که شعاع قاعده برابر با ارتفاع وارد بر وتر مثلث بوده و مجموع ارتفاع دو مخروط با يک ديگر مساوي با وتر مثلث مي باشد.

نکته: از دوران مثلث متساوي الاضلاع حول هر ضلع آن دو مخروط هم حجم حاصل مي شود.

شعاع قاعده مخروط:

ارتفاع مخروط:

نکته: هرگاه مربعي حول قطر آن دوران کند، حاصل اين دوران دو مخروط با قاعده مشترک است که شعاع قاعده نصف قطر مربع و ارتفاع هر دو مخروط برابر با نصف قطر است.