تعریف:مجموعه

تعریف : مجموعه را از بالا کران دار گویند هر گاه وجود داشته باشد که به ازای هر دراین حالت x را یک کران بالای A در R می نامند.

تعریف : مجموعه را از پایین کران دار گویند هر گاه وجود داشته باشد که برای هر دراین حالت x را یک کران پایین A در R می نامند.

تعریف : مجموعه را کران دار گویند هر گاه هم از بالا و هم از پایین کران دار باشد در غیر این صورت آن را بیکران می نامند.

تعریف : فرض کنیم از بالا کران دار باشد، اگر عدد M عضو A وجود داشته باشد که برای هر داشته باشیم آنگاه M را ماکسیمم مجموعه A می نامند و آن را با نشان می دهند (در حقیقت M یک کران بالای A و عضو آن نیز است.)

تعریف: فرض کنیم از پایین کران دار است. اگر عدد m عضو A وجود داشته باشد که برای هر داشته باشیم آنگاه m را مینیمم مجموعه A می نامند و آن را با نشان می دهند (در حقیقت m کران پایین A و عضو آن نیز است).

نکته 1: با توجه به تعریف، هر مجموعه از پایین کران دار بی شمار کران پایین دارد، لزومی ندارد کران پایین یک مجموعه عضو خود مجموعه باشد.

نکته 2: بزرگترین کران پایین یک مجموعه از پایین کران دار را در اصطلاح اینفیمم (inf) آن مجموعه گویند.

نکته 3: با توجه به تعریف، هر مجموعه از بالا کران دار بی شمار کران بالا دارد، لزومی ندارد کران بالای یک مجموعه عضو خود مجموعه باشد.

نکته 4: کوچکترین کران بالای یک مجموعه از بالا کران دار را در اصطلاح سوپریمم (sup) آن مجموعه گویند.

نکته 5: اگر بزرگترین کران پایین در مجموعه قرار نداشته باشد، آنگاه آن مجموعه مینیمم ندارد.

نکته 6: اگر کوچکترین کران بالا در مجموعه قرار نداشته باشد، آنگاه آن مجموعه ماکزیمم ندارد.

نکته 7: هر ماکزیممی یک سوپریمم (sup) است، اما هر سوپریممی یک ماکزیمم نمی باشد، سوپریممی برابر

ماکزیمم است که عضو مجموعه باشد. (رابطه اینفیمم و مینیمم نیز به همین صورت است.)