تعریف مجموعه و زیر مجموعه

ابتدا با تعریف مجموعه آشنا شوید: یک مجموعه به صورت دسته ای از اشیای مشخص و دو به دو متمایز تعریف می شود. هریک از این اشیا عضو مجموعه نام دارد. دقت کنید رفتار یا ویژگی مشترکی که اعضای مجموعه را تعریف می کند باید طوری باشد که:

1) همه‌ی عضوهای مجموعه را دربر گیرد.

2) معرف هیچ چیزی، غیر از عضوهای مجموعه نباشد.

3) درباره‌ی عضویت یا عدم عضویت یک چیز به مجموعه مورد نظر تردید ایجاد نکند.

برای مثال اگر مجموعه‌ی A را به صورت مجموعه شهرهای زیبای دنیا تعریف کنیم، نمی توان اعضای آن را دقیقاً مشخص نمود و مجموعه نامعین است. ضمنا دقت کنید عضو تکراری در یک مجموعه، عضو جدید به حساب نمی آید مثلاً مجموعه‌ی دارای 5 عضو است و در حقیقت این مجموعه به صورت تعریف می شود.

عضویت یک شیء را در یک مجموعه با علامت و علامت عدم عضویت را با نمایش می دهیم و بنابراین

تعریف زیر مجموعه:

مجموعه‌ی B را زیر مجموعه‌ی A گویند هرگاه هر عضو B ، عضوی از A نیز باشد، بنابراین تعریف هر مجموعه زیر مجموعه‌ی خودش است.

مجموعه‌ی تهی:

مجموعه‌ی بدون عضو را مجموعه‌ی تهی گویند و با نماد نمایش می دهند به طور قراردادی مجموعه‌ی تهی زیر مجموعه‌ی هر مجموعه ای است.

زیر مجموعه بودن را علامت و عدم زیرمجموعه بودن با علامت نمایش داده می شود. به مثال زیر دقت کنید.

از تعریف زیر مجموعه بودن می توان نتیجه گرفت: اگر . به شکل زیر توجه کنید:

A: مجموعه‌ي دانش آموزان مقطع اول دبیرستان

B: مجموعه‌ي دانش آموزان دبیرستانی

C: مجموعه‌ی دانش آموزان کلیه ی مقاطع