تابع زوج و فرد

تابعی را زوج گوئیم که دارای دو شرط باشد :

1 ) دامنه ی آن متقارن باشد ؛ یعنی اگر است، x- هم عضوی از دامنه ی f باشد.

2 )( f( x ) = f( −x .

همان طور که از تعریف پیدا ست، این تابع نسبت به محور y ها متقارن است.

تابعی را فرد گوئیم که دارای دو شرط باشد :

1. دامنه ی آن متقارن باشد.
2. (f( x ) = −f ( −x .

این تابع نسبت به مبدأ مختصات متقارن است.

نکته : البته این موارد در حالتی صحیح است که دامنه ی تابع ترکیب متقارن باشد.

به طور کلی ترکیب دو تابع زوج، تابعی است زوج ؛ ترکیب دو تابع فرد، تابعی است فرد و ترکیب یک تابع زوج و یک تابع فرد، تابعی زوج است.

نکته :

تنها تابع هم زوج و هم فرد تابع y = 0 است. مثلا:

نکته :

توابعی هم وجود دارد که نه زوج هستند و نه فرد ؛ که عبارتند از از :

1. توابعی که از مجموع یا تفاضل یک تابع زوج و یک تابع فرد به وجود می آیند.
2. توابعی که دامنه ی متقارن ندارند.

نکته :

هر تابع دلخواه مانند f را می توان به صورت مجموع یک تابع فرد و یک تابع زوج نوشت.

نکته :

مجموع یا تفاضل دو تابع زوج، تابعی زوج است. همچنین مجموع یا تفاضل دو تابع فرد، تابعی فرد است.

نکته :

هر تابع فرد در رابطه ی f( x ) + f (−x ) = 0 صدق می کند.

هر تابع زوج در رابطه ی (f( x ) − f( −x صدق می کند.