مفهوم حد در نقطه ی برای تابع (f (x این طور بیان می شود که هر گاه x به قدر کافی به نزدیک شد، یعنی ، آن گاه (f(x هم به مقدار دلخواه به عددی مثل L نزدیک شود، در این صورت L را حد(f(xدر نقطه ی نامند.

حدود یک طرفه:

حال اگر x از مقادیری کم تر از به آن نزدیک شود، آن گاه عددی را (f(x به آن نزدیک می شود را حد چپ تابع و هر گاه x از مقادیر بیش تری از به آن نزدیک شود، آن گاه عددی را که (f(x به آن نزدیک می شود را حد راست تابع گویند.

نکته:

زمانی می گوئیم یک تابع در یک نقطه دارای حد است که در آن نقطه، حد چپ و راست موجود و مقدار آن ها با هم برابر باشد.

برای به دست آوردن حد از روی نمودار به صورت زیر عمل می کنیم.

الف ) برای به دست آوردن حد چپ در نقطه ی ، از سمت چپ روی منحنی حرکت می کنیم تا به نزدیکی برسیم، آن گاه مقدار تابع در این همسایگی برابر حد چپ است.

ب ) برای به دست آوردن حد راست در نقطه ی از سمت راست روی منحنی شروع به حرکت می کنیم، تا به حوالی برسیم، آن گاه مقدار تابع در این همسایگی برابر حد است.

به شکل رو به رو توجه کنید.

همان طورکه ملاحظه می شود:

تذکر:

1. حد تابع لزوماً برابر مقدار تابع در آن نقطه نیست.
2. اگر منحنی یک تابع در یک نقطه مثل a دارای جداشدگی باشد، در آن نقطه حد ندارد.

محاسبه ی حد:

الف ) توابع قدرمطلق:

برای محاسبه ی حد این توابع با استفاده از تعریف قدرمطلق، آن را تعیین علامت می کنیم و پس از حذف قدرمطلق، حد را محاسبه می کنیم.

مثال:

ب ) توابع جزء صحیح:

برای محاسبه ی حد این توابع ابتدا، همسایگی مناسب را تعیین می کنیم. سپس مقدر جزء صحیح را در این همسایگی تعیین می کنیم.

مثال:

در مثال بالا، اگر از مقادیری کم تر و بیش تر به نزدیک شویم، آن گاه مقدار تابع به 1− نمی رسد.

در توابع چند ضابطه ای برای محاسبه ی حد در نقطه ی x = a، ابتدا معلوم می کنیم x = a در بازه ی تعریف کدام ضابطه قرار دارد. سپس حد همان ضابطه را در x = a محاسبه می کنیم.

مثال:

حد تابع y را به دست آورید.

قضایای حد:

الف ) قضیه ی کران داری توابع حد:

اگر (f (x در همسایگی نقطه ی x = a، تابعی کران دار باشد، و آن گاه:

منظور از کران داری این است که برد تابع محدود به دو عدد حقیقی باشد.

مثلا توابع مثلثاتی، کران دار هستند.

نکته:

تابع کران دار، حتماً باید در همسایگی نقطه ی x = a تعریف شده باشد.

ب ) قضیه ی فشردگی:

اگر در یک همسایگی نقطه ی a داشته باشیم، ، آن گاه اگر:

نکته:

اگر f و g دو تابع باشند و در نقطه ی x = a دارای حدود باشند، آن گاه ترکیب این توابع یعنی در نقطه ی x = a به ترتیب دارای حدود هستند.

نکته:

اگر یکی از دو تابع حد نداشته باشد، مجموع و تفاضل آن ها حتماً حد ندارد. ولی در مورد ضرب یا تقسیم آن ها نمی توان نظر داد.