تعريف: سهمي مكان هندسي تمام نقاطي از يك صفحه است كه از يك ثابت F و يك خط ثابت به يك فاصله باشند. نقطه ثابت F را كانون و خط ثابت را خط هادي سهمي مي‌نامند خطي كه از كانون سهمي بر خط هادي عمود شود را محور سهمي مي‌گويند و محل تقاطع اين خط و سهمي را رأس سهمي مي‌نامند و آنرا با S نشان مي‌دهند. رأس سهمي درست در وسط پاره خطي است كه از كانون بر خط هادي عمود شود.

اگر خط هادي سهمي موازي محور xها باشد (يك خط افقي باشد) آنگاه سهمي قائم است. و اگر خط هادي موازي محور yها باشد آنگاه سهمي افقي است.

معادله سهمي: يك سهمي افقي كه رأس آن (0و0)S و خط هادي آن x= - a و كانون آن (aو0)F را در نظر مي‌گيريم. اگر (M(x,y يك نقطه از سهمي باشد داريم:

همان طور كه ملاحظه مي‌كنيد فاصله كانون تا خط هادي برابر مي‌باشد به a پارامتر سهمي مي‌گويند در صورتي كه دهانه‌ي سهمي رو به چپ خواهد شد.

اگر رأس سهمي باشد مختصات كانون و معادله خط هادي به صورت زير مي‌باشد.

اين فرم نوشتن معادله‌ي سهمي را معادله‌ي كانونيك سهمي گويند. به همين ترتيب اگر خط هادي

سهمي موازي محور xها باشد سهمي قائم است و معادلات سهمي و خط هادي و مختصات كانوني

و رأس آن عبارتند از:

نكته1:

در سهمي افقي معادله بر حسب y از درجه دوم و بر حسب x از درجه اول است اگر سهمي رو به راست است و اگر سهمي رو به چپ است در سهمي رو به راست كانون رأس و تمام نقاط سهمي در سمت راست خط هادي قرار دارند و در سهمي رو به چپ بر عكس است.

نكته 2:

در سهمي قائم معادله بر حسب xاز درجه دوم و بر حسب yاز درجه اول است اگر سهمي رو به بالا و اگر سهمي رو به پايين است در سهمي رو به بالا كانون، رأس و تمام نقاط سهمي در بالاي خط هادي قرار دارند و در سهمي رو به پايين بر عكس است.

نكته 3:

در سهمي افقي كانون و رأس داراي عرض يكسان و در سهمي قائم كانون و رأس داراي طول يكسان مي‌باشند.

نكته 4:

فاصله‌ي كانون ت رأس (SF) و همچنين رأس تا خط هادي (SH) برابر مي‌باشد.

هر معادله به فرم با شرط معادله‌ي باز يا ضمني يك سهمي ناميده مي‌شود. براي بدست آوردن مختصات رأس و كانون و پارامتر سهمي در روش وجود دارد.

روش اول:

با مرتب كردن جملات و مربع كردن عامل درجه دوم، معادله را به فرم كانوينك نوشته و از روي آن تمام مشخصات سهمي بدست مي‌آيد.

روش دوم:

اگر از معادله‌ي سهمي بر حسب عامل درجه دوم مشتق بگيريد و آنرا مساوي صفر قرار دهيم طول يا عرض نقطه‌ي رأس بدست مي‌آيد كه با جايگذاري در معادله مؤلفه‌ي ديگر رأس بدست مي‌آيد. همچنين پارامتري سهمي (a) برابر است با قرنيه ضريب عامل درجه اول تقسيم بر چهار برابر ضريب عامل درجه دوم مثلاً در سهمي داريم:

و از روي اين يافته‌ها مي‌توان مختصات كانون و معادله‌ي خط هادي سهمي را بدست آورد.

نكته:

در هر سهمي خطي كه از كانون بر خط هادي عمود شود (محور سهمي) محور تقارن سهمي مي‌باشد. در سهمي افقي (و يا قائم) خطي كه از رأس سهمي به موازات محور xها (و يا محور yها) رسم شود محور تقارن سهمي مي‌باشد. براي بدست آوردن معادله محور تقارن سهمي كافي است از معادله ضمني سهمي نسبت به متغير درجه دوم مشتق گرفته و آنرا برابر صفر قرار مي‌دهيم.

تعريف: هر پاره خطي كه دو سر آن روي سهمي قرار داشته باشد وتر سهمي مي‌باشد وترهايي كه از كانون سهمي مي‌گزند وتر كانوني ناميده مي‌شوند. طول وتر كانوني كه بر محور سهمي عمود است همواره برابر مي‌باشد. براي اثبات اين مطلب يك سهمي افقي در نظر مي‌گيريم اگر MN پاره خط مورد نظر باشد چون M يك نقطه روي سهمي است داريم پس چهار ضلعي يك مربع است و

نكته:

يك نقطه داخل سهمي است اگر و تنها اگر فاصله آن از كانون سهمي كمتر از فاصله آن از خط هادي باشد. يعني و يك نقطه خارج سهمي است اگر و تنها

اگر فاصله آن نقطه از كانون سهمي بيشتر از فاصله آن از خط هادي باشد يعني

نكته:

براي تشخيص وضعيت نقطه نسبت به سهمي با معادله‌ي ضمني (0=F(x,y كه ضريب عامل درجه دوم حتماً مثبت است داريم:

نكته:

از هر نقطه خارج سهمي مي‌توان دو مماس بر سهمي رسم كرد و از نقطه روي سهمي يك مماس بر آن رسم مي‌شود و از داخل هيچ مماس بر سهمي نمي توان رسم كرد.

نكته:

اگر نقطه اي روي سهمي

باشد آنگاه با استفاده از مشتق ضمني داريم در نتيجه

بنابراين شيب خط مماس بر سهمي از A برابر است با

پس معادله خط مماس در A برابر است با:

همچنين شيب خط قائم در نقطه A بر سهمي برابر و معادله‌ي آن به صورت مي‌باشد.