مقاطع مخروطی- سهمی

تعريف: سهمي مکان هندسي تمام نقاطي از يک صفحه است که از يک ثابت F و يک خط ثابت به يک فاصله باشند. نقطه ثابت F را کانون و خط ثابت را خط هادي سهمي مي‌نامند خطي که از کانون سهمي بر خط هادي عمود شود را محور سهمي مي‌گويند و محل تقاطع اين خط و سهمي را رأس سهمي مي‌نامند و آنرا با S نشان مي‌دهند. رأس سهمي درست در وسط پاره خطي است که از کانون بر خط هادي عمود شود.

اگر خط هادي سهمي موازي محور xها باشد (يک خط افقي باشد) آنگاه سهمي قائم است. و اگر خط هادي موازي محور yها باشد آنگاه سهمي افقي است.

معادله سهمي: يک سهمي افقي که رأس آن (0و0)S و خط هادي آن x= - a و کانون آن (aو0)F را در نظر مي‌گيريم. اگر (M(x,y يک نقطه از سهمي باشد داريم:

همان طور که ملاحظه مي‌کنيد فاصله کانون تا خط هادي برابر مي‌باشد به a پارامتر سهمي مي‌گويند در صورتي که دهانه‌ي سهمي رو به چپ خواهد شد.

اگر رأس سهمي باشد مختصات کانون و معادله خط هادي به صورت زير مي‌باشد.

اين فرم نوشتن معادله‌ي سهمي را معادله‌ي کانونيک سهمي گويند. به همين ترتيب اگر خط هادي

سهمي موازي محور xها باشد سهمي قائم است و معادلات سهمي و خط هادي و مختصات کانوني

و رأس آن عبارتند از:

نکته1:

در سهمي افقي معادله بر حسب y از درجه دوم و بر حسب x از درجه اول است اگر سهمي رو به راست است و اگر سهمي رو به چپ است در سهمي رو به راست کانون رأس و تمام نقاط سهمي در سمت راست خط هادي قرار دارند و در سهمي رو به چپ بر عکس است.

نکته 2:

در سهمي قائم معادله بر حسب xاز درجه دوم و بر حسب yاز درجه اول است اگر سهمي رو به بالا و اگر سهمي رو به پايين است در سهمي رو به بالا کانون، رأس و تمام نقاط سهمي در بالاي خط هادي قرار دارند و در سهمي رو به پايين بر عکس است.

نکته 3:

در سهمي افقي کانون و رأس داراي عرض يکسان و در سهمي قائم کانون و رأس داراي طول يکسان مي‌باشند.

نکته 4:

فاصله‌ي کانون ت رأس (SF) و همچنين رأس تا خط هادي (SH) برابر مي‌باشد.

هر معادله به فرم با شرط معادله‌ي باز يا ضمني يک سهمي ناميده مي‌شود. براي بدست آوردن مختصات رأس و کانون و پارامتر سهمي در روش وجود دارد.

روش اول:

با مرتب کردن جملات و مربع کردن عامل درجه دوم، معادله را به فرم کانوينک نوشته و از روي آن تمام مشخصات سهمي بدست مي‌آيد.

روش دوم:

اگر از معادله‌ي سهمي بر حسب عامل درجه دوم مشتق بگيريد و آنرا مساوي صفر قرار دهيم طول يا عرض نقطه‌ي رأس بدست مي‌آيد که با جايگذاري در معادله مؤلفه‌ي ديگر رأس بدست مي‌آيد. همچنين پارامتري سهمي (a) برابر است با قرنيه ضريب عامل درجه اول تقسيم بر چهار برابر ضريب عامل درجه دوم مثلاً در سهمي داريم:

و از روي اين يافته‌ها مي‌توان مختصات کانون و معادله‌ي خط هادي سهمي را بدست آورد.

نکته:

در هر سهمي خطي که از کانون بر خط هادي عمود شود (محور سهمي) محور تقارن سهمي مي‌باشد. در سهمي افقي (و يا قائم) خطي که از رأس سهمي به موازات محور xها (و يا محور yها) رسم شود محور تقارن سهمي مي‌باشد. براي بدست آوردن معادله محور تقارن سهمي کافي است از معادله ضمني سهمي نسبت به متغير درجه دوم مشتق گرفته و آنرا برابر صفر قرار مي‌دهيم.

تعريف: هر پاره خطي که دو سر آن روي سهمي قرار داشته باشد وتر سهمي مي‌باشد وترهايي که از کانون سهمي مي‌گزند وتر کانوني ناميده مي‌شوند. طول وتر کانوني که بر محور سهمي عمود است همواره برابر مي‌باشد. براي اثبات اين مطلب يک سهمي افقي در نظر مي‌گيريم اگر MN پاره خط مورد نظر باشد چون M يک نقطه روي سهمي است داريم پس چهار ضلعي يک مربع است و

نکته:

يک نقطه داخل سهمي است اگر و تنها اگر فاصله آن از کانون سهمي کمتر از فاصله آن از خط هادي باشد. يعني و يک نقطه خارج سهمي است اگر و تنها

اگر فاصله آن نقطه از کانون سهمي بيشتر از فاصله آن از خط هادي باشد يعني

نکته:

براي تشخيص وضعيت نقطه نسبت به سهمي با معادله‌ي ضمني (0=F(x,y که ضريب عامل درجه دوم حتماً مثبت است داريم:

نکته:

از هر نقطه خارج سهمي مي‌توان دو مماس بر سهمي رسم کرد و از نقطه روي سهمي يک مماس بر آن رسم مي‌شود و از داخل هيچ مماس بر سهمي نمي توان رسم کرد.

نکته:

اگر نقطه اي روي سهمي

باشد آنگاه با استفاده از مشتق ضمني داريم در نتيجه

بنابراين شيب خط مماس بر سهمي از A برابر است با

پس معادله خط مماس در A برابر است با:

همچنين شيب خط قائم در نقطه A بر سهمي برابر و معادله‌ي آن به صورت مي‌باشد.