اعمال روی ماتریس

يک جدول شامل n×m عدد حقيقي که به شکل زير در mسطر و nستون چيده باشد را يک ماتريس حقيقي مي‌نامند. n×m را اندازه يا مرتبه‌ي ماتريس مي‌نامند. به هر يک از اعداد ماتريس درايه يا مؤلفه مي‌گويند.

درايه واقع در محل تلاقي سطر iام و ستون jام را با نمايش مي‌دهند و ماتريس فوق را به شکل نيز نمايش مي دهند دو ماتريس هم اندازه با هم مساوي‌اند (A=B) هرگاه به ازاي از i,j داشته باشيم

اگر دو ماتريس هم اندازهn×m باشند، مجموع آنها بين A+B يک ماتريس بصورت است به طوري که يعني مؤلفه‌هاي نظير به نظير دو ماتريس با هم جمع مي‌شوند.

به ازاي هر عدد حقيقي r و ماتريس ، ماتريس rA به صورت تعريف مي‌شود يعني عدد r در تک تک درايه‌هاي ماتريس ضرب مي‌شود.

انواع ماتريس: بعضي از ماتريس‌ها اسامي خاص دارند ماتريسي که فقط از يک سطر به صورت تشکيل شده باشد، ماتريس سطري و ماتريسي که فقط از يک ستون به صورت تشکيل شده است ماتريس ستوني ناميده مي‌شود به ماتريسي که تعداد ستون و سطرهاي آن با هم برابر باشد ماتريس مربع ناميده مي‌شود. در ماتريس مربع n×m، به درايه‌هاي درايه‌هاي قطر اصلي مي‌گويند. اگر تمام درايه‌هاي خارج قطر اصلي صفر باشد ماتريس را قطري مي‌گويند ماتريس قطري که تمام درايه‌هاي قطر اصلي آن با هم برابر باشد را ماتريس اسکالر مي‌گويند.

در ماتريس مربع اگر درايه‌هاي بالاي قطر مثلثي برابر صفر باشد ماتريس را پايين مثلثي مي‌گويند و اگر تمام درايه‌هاي پايين قطر اصلي برابر صفر باشد ماتريس را بالا مثلثي مي‌نامند. ماتريس n×m که تمام درايه‌هاي آن صفر باشد ماتريس صفر از اندازه‌ي n ×m ناميده مي‌شود. ماتريس هماني يک ماتريس قطري مربع n×n مي باشد که تمام درايه‌هاي روي قطر اصلي آن برابر 1 مي باشد ماتريس اسکالر n×n به صورت مي باشد که k عدد روي قطر اصلي مي‌باشد.

خواص جمع ماتريس‌ها و ضرب عدد در ماتريس:

اگر C,B,A ماتريس‌هاي n ×m دلخواه و o ماتريس صفرn ×m باشد و s,r اعداد حقيقي دلخواه باشند خواص زير همواره وجود دارند:

1) A+B=B+A يعني جمع ماتريس‌ها خواص جابه جايي دارد.

2) A+(B+C)=(A+B)+C يعني جمع ماتريس‌ها خواص مشترک پذيري دارد. 3) O+A-A+O=A که O عنصر خنثي عمل جمع ماتريس‌ها مي‌باشد.

4) به ازاي هر ماتريس A قرينه ماتريس A به صورت A- وجود دارد به طوري که A+(-A)=O

5)( r(A+B)=rA+rB,r(sA)=s(rA

تعريف: اگر يک ماتريس n ×m و يک ماتريس n×p باشد در اين صورت يک ماتريس n×p مي‌باشد که به صورت زير بدست مي‌آيد.

به عبارت ديگر هر درايه از حاصل ضرب سطر iام ماتريس A در ستون jام ماتريس B بدست مي‌آيد

خواص ضرب ماتريس ها:

اگر C,B,A ماتريس‌هاي دلخواه m×m و ماتريس هماني m×m باشند هماواره داريم:

1) A(BC)=(AB)C يعني ضرب ماتريس‌ها خواص مشترک پذيري دارد.

2) A(B+C)=AB+AC يعني ضرب ماتريس‌ها نسبت به عمل جمع خاصيت پخشي دارد.

3)در حالت کلي AB=BA برقرار نيست يعني ضرب ماتريس‌ها خاصيت جابجايي ندارد.

4) يعني عضو خنثي عل ضرب ماتريسي مي‌باشد.

5) و به همين شکل به ازاي هر داريم

نکته:

اگر A ماتريس n×m و O ماتريس صفر n×m و o عدد حقيقي صفر باشد داريم:

اما از AB=O نمي‌توان گفت که يکي از ماتريس‌هاي B,Aبرابر O مي‌باشد.

نکته:

ضرب ماتريس‌ها در حالت کلي داراي خاصيت حذف نمي‌باشد يعني از AC=AB نمي‌توان نتيجه گرفت B=C

نکته:

اگر حاصل ضرب دو ماتريس داراي خاصيت جابجايي باشد يعني AB=BA، دو ماتريس را تعويض پذير مي‌نامند.

نکته:

دو طرف يک تساوي را مي توان از سمت چپ يا راست در يک ماتريس دلخواه ضرب کرد.

يعني :

نکته:

ضرب ماتريس‌ها در حالت کلي خاصيت جابجايي ندارد اگر ضرب دو ماتريس خاصيت جابجايي داشته باشد يعني AB=BA دو ماتريس را تعويض پذير مي‌گويند. يعضي از ماتريس‌ها تعويض پذير عبارتند از:

1- ماتريس اسکالر با هر ماتريس مربع هم اندازه ي خود تعويض پذير است.

2- ماتريس به شکل با هر ماتريس به اين شکل تعويض پذير است.

3- ماتريس به شکل با هر ماتريس به اين شکل تعويض پذير است.

نکته:

اگر B,A دو ماتريس بالا مثلثي n×n باشند و يک عدد حقيقي باشد آن گاه ماتريس‌هاي ماتريس هاي بالا مثلثي هستند.

نکته:

اگر A يک ماتريس بالا مثلثي (يا پايين مثلثي) باشد ماتريس پايين مثلثي (يا بالا مثلثي) مي‌باشد.

نکته:

اگر ماتريس B,A قطري هم مرتبه باشند ماتريس‌هاي قطري‌اند AB=BA