ویژگی های دترمینان

تعريف: در ماتريس به صورت دترمينان A که آنرا به شکل نمايش مي‌دهند به صورت زير تعريف مي‌شود.

تعريف: دترمينان ماتريس به صورت زير تعريف مي‌شود:

نکته:

دستور ساروس براي محاسبه‌ي دترمينان ماتريس3×3: روش ديگر براي محاسبه‌ي دترمينان ماتريس‌هاي 3×3 وجود دارد که به دستور ساروس معروف است. براي اين منظور ماتريس A را دو بار در کنار هم مي‌نويسيم.

اعداد روي خط 1 را در هم ضرب مي‌کنيم، به همين ترتيب اعداد روي خطوط 2تا6 را در هم ضرب مي‌کنيم. دترمينان A برابر است با:

ويژگي‌هاي دترمينان:

1) اگر تمام درايه‌هاي يک سطر يا يک ستون ماتريس A صفر باشد داريم:

2) اگر تمام درايه‌هاي يک سطر يا ستون ماتريس A در يک عدد ثابت c ضرب شوند آنگاه مقدار دترمينان در عدد c ضرب مي‌شود. به عکس مي‌توان از عدد ثابت c در درايه‌هاي يک سطر يا يک ستون فاکتور گرفت و در دترمينان ضرب کرد.

3) اگر جاي دو سطر يا دو ستون ماتريس A را عوض کنيم مقدار دترمينان در 1- ضرب مي‌شود.

4) اگر دو سطر يا دو ستون A يکسان باشد آنگاه

5) اگر يک سطر (يا ستون) A ضريبي از يک سطر (ياستون) ديگرA باشد آن گاه

6) اگر تمام درايه‌هاي ماتريس A در ضرب شوند درترمينان در ضرب مي‌شود به عبارت ديگر که n مرتبه‌ي ماتريس مربع A مي‌باشد.

7) اگر ترانهاده ماتريس A باشد داريم

8) دترمينان ماتريس A به شکل زير مي‌توان به صورت مجموع دو دترمينان نوشت: اين مطلب در حالت سطري هم برقرار است.

9) اگر مضربي از يک سطر يا ستون را به سطر يا ستون ديگر اضافه کنيم مقدار دترمينان تغيير نمي‌کند.

10) اگر B,A دو ماتريس n×n باشند داريم در نتيجه به ازاي هر عدد طبيعي k :

11) در حالت کلي برقرار نيست.

12) دترمينان ماتريس مثلثي برابر حاصل ضرب درايه‌هاي روي قطر اصلي مي‌باشد.