تابع صعودی و نزولی

تابع صعودي :

اگر در يک تابع دامنه‌ي مورد نظر آن را با بازه‌ي I معرفي کنيم و يک متغير را از آن انتخاب کنيم و را بنويسيم و بار ديگر متغيري ديگر مانند با اين شرط که باشد را از آن انتخاب کنيم و را بنويسيم و متوجه شويم که حال اگر اين حالت براي تمام متغيرهايي که اينگونه انتخاب مي‌شوند برقرار باشد يعني هرچه xها را زياد مي‌کنيم. مقدار yها هم افزايش يابد در اين صورت تابع را صعودي مي‌گويند. البته اگر مقدار yها همواره افزايش يابد و اصلا در هيچ جا ثابت نماند آنگاه تابع را اکيدا صعودي مي‌ناميم براي درک بهتر به توضيحات زير توجه کنيد:

توابع صعودي و نزولي:

1) اگر به ازاي هر (I يک بازه است) داشته باشيم:

شکل‌هاي 1 تا 4 توابع صعودي هستند. شکل‌هاي (1) و (2) و (4) صعودي اکيد هستند و تابع (3) صعودي است ولي اکيدا صعودي نيست.

تذکر مهم: هر تابع اکيدا صعودي هود تابعي است صعودي.

2) به ازاي هر (I يک بازه است) داشته باشيم:

تذکر1: تابع ثابت، تابعي است هم صعودي و هم نزولي

تذکر2: اگر تابع f، تابعي پيوسته باشد آن گاه : (در نقاطي که موجود است)

1) در بازه‌ي ، f صعودي است.

2) در بازه‌ي ، f نزولي است.

به عنوان مثال در تابع ، f صعودي است.

اشکال (5) و (6) و (7) تابع هايي اکيدا نزولي اند ولي شکل (8) تابعي نزولي است و اکيدا نزولي نيست.

اکيدا نزولي يعني تابعي که همواره نزول مي‌کند و رو به پايين است و نزولي يعني در بعضي جاها يا در همه جاي دامنه به صورت خط صاف است.

صعودي نيز هم اين طور است يعني در بعضي‌هاي دامنه يا در همه جاي دامنه به صورت خطي صاف است.

اگر تابع f در بازه‌ي I صعودي باشد داريم:

پس مي‌توانيم بگوييم که اگر يک تابع صعودي باشد مشتق آن مثبت است و همچنين مي‌توانيم بگوييم که زماني يک تابع نزولي است که مشتق آن منفي است. پس براي اين که تشخيص دهيم يک تابع در کجاها از دامنه اش صعودي و در کجاها نزولي است بهتر است مشتق آن را بگيريم و تعيين علامتش کنيم هر جا که علامت مثبت بود تابع رشد صعودي دارد يعني صعودي است و هرجا که علامت منفي بود تابع نزول مي‌کند يعني نزولي است.