دایره

دایره:

مجموعه نقاطی از صفحه‌ای که فاصله آنها از یک نقطه ثابت به یک مقدار ثابت باشد.

اجزای دایره:

وتر: پاره خطی که دو نقطه متمایز روی محیط دایره را به هم وصل می‌کند

قطر: وتری که از مرکز دایره می‌گذرد قطر بزرگترین وتر دایره بوده و اندازه آن دو برابر شعاع است دو نقطه B , A واقع در محیط دایره دو کمان را روی دایره دایره به وجود می‌آورند.

اگر B ,A دو سر قطر یک دایر ه باشند دو کمان ایجاد شده با هم برابر هستند و هر کدام یک نیم دایره نامیده می‌شوند.

زوایاع دایره:

زاویه مرکزی:

در دایره روبه رو دو نیم خط OB , OA دو زاویه ایجاد می‌کنند این دو زاویه رأسشان مرکز دایره بوده و به این دلیل زاویه مرکزی نامیده می‌شود اندازه زاویه مرکزی برابر کمان رو به روی آن است.

زاویه محاطی:

زاویه‌ای که رأسش روی محیط دایره و اضلاع آن دو وتر از دایره باشد.اندازه هر زاویه محاطی برابر نصف کمان روبه روی آن است.

زاویه ظلی: زاویه‌ای که رأسش روی دایره است و یک ضلع آن وتر دایره (AB) و ضلع دیگر آن دو دایره مماس است (AT). اندازه هر زاویه ظلی برابر با نصف کمان رو به آن است.

نکته:

در هر دایره شعاع عمود بر وتر، آن وتر و کمان روبه روی آن را نصف می‌کند.

نکته:

در یک دایره کمان های نظیر دو وتر مساوی با هم برابرند و بالعکس

نکته:

وترهای مساوی از مرکز دایره به یک فاصله هستند و بالعکس

اگر خطی دایره را در دو نقطه قطع کند. قاطع دایره نامیده می‌شود.حال اگر فقط در یک نقطه قطع کند خط مماس نامیده می‌شود.

نکته:

خط مماس در دو نقطه تماس در شعاع گذرنده از نقطه تماس عمود است.

روابط زیر در شکل رو به رو به خاطر بسپارید.

4) پاره خطی که C را به O وصل می‌کند نیمساز زوایاع O , C بوده و بر وتر AB عمود است.

5) مماس های رسم شده از یک نقطه خارج دایره با یکدیگر برابر هستند.

زاویه بین دو وتر:

اندازه زاویه‌ای که از برخورد دو وتر در یک دایره ایجاد می شود برابر نصف مجموع اندازه دو کمانی از دایره است که به ضلع ها و امتداد ضلع های آن زاویه محدودند

- اندازه زاویه‌ای که از برخورد امتداد دو وتر از یک دایره پدید می‌آید برابر قدر مطلق نصف تفاضل اندازه کمان‌هایی از آن دایره است که بر ضلع‌های آن زاویه محدود‌اند

روابط طولی در دایره:

- هرگاه از یک نقطه خارج دایره خط مماس و خط قاطع رسم کنیم.توان دوم خط مماس برابر است با حاصل ضرب خط قاطع در قطعه خارجی قاطع

- هرگاه از یک نقطه خارج دایره، دو خط قاطع بر دایره رسم کنیم، حاصل ضرب یک قاطع در قطعه خارجی آن برابر با حاصل ضرب قاطع دیگر در قطعه خارجی آن می‌باشد.

- هرگاه دو وتر از یک دایره متقاطع باشند،حاصل ضرب دوقطعه یک وتربا حاصل ضرب دوقطعه وتردیگر برابر است.

مماس مشترک دو دایره:

مماس مشترک دو دایره خطی است که، بر هردو دایره مماس باشد.

اگر دو دایره در یک طرف خط مماس باشند مماس مشترک خارجی نامیده می شوند و اگر دو دایره در دو طرف خط مماس باشند، این خط مماس مشترک داخلی نامیده می‌شود.

به خاطر داشته باشید که هرگاه در مورد اندازه خط مماس صحبتی به میان آید منظور طول خط از نقطه تماس A تا نقطه تماس B می‌باشد.

اندازه مماس مشترک:

اگر شعاع های دو دایره باشند و d فاصله بین دو مرکز دایره

وضعیت دو دایره نسبت به هم:

خیلی وقت ها اتفاق می‌افته که دو دایره داخل صفحه‌ای واقع می‌شند، حالا می‌خواهیم دو دایره را مجبور کنیم که در یک صفحه کاغذ قرار بگیرند، می‌خواهیم بدونیم که به چه حالت‌هایی امکان داره که این دو دایره با هم دیگه، یا در کنار هم دیگه در یک صفه جا بشوند.

دو دایره برون هم:

دو مماس مشترک داخلی

دو مماس ممشترک خارجی

دو دایره مماس برون ( خارج ):

دو مماس مشترک خارجی

CD مماس داخلی: مسلماً اندازه آن صفر می‌باشد.

نکته:

اندازه مماس مشترک دو دایره برون ( خارج ) برابر با البته علاوه برآن فرمول کلی

دو دایره متقاطع:

CD , AB دو مماس مشترک خارجی داخلی هم که ندارد.

دو دایره مماس داخل:

AB مماس مشترک خارجی

دو دایره متداخل:

دو دایره هم مرکز:

محیط و مساحت دایره:

محیط یک دایره به شعاع می‌باشد

مساحت یک دایره به شعاع است

طول کمان دایره

قطاع و قطعه:

قطاع: سطحی از دایره که بین دو شعاع از دایره قرار داشته باشد را قطاع می‌نامند.

در این شکل قطاع OACB را می‌بینید که بین دو شعاع OB , AO قرار دارد.

مساحت و محیط قطاع دایره:

- مساحت قطاع را می‌توان از دو رابطه زیر به دست آورد:

محیط قطاع برابر با مجموع طول قوس با دو برابر اندازه شعاع دایره می‌باشد.

قطعه:

سطحی از دایره که بین وتر و محیط دایره قرار داشته باشد را قطعه آن دایره می‌نامند.

مساحت و محیط قطعه:

توجه کنید که بر حسب رادیان می باشد.

محیط قطعه برابر با مجموع اندازه وتر با طول قوسAB می‌باشد.

طول قوس +ACB وتر AB = محیط قطعه